בדיוק, זו גם ההגדרה המדוייקת יותר ("קיים N כך שלכל n>N מתקיים...")
וN דווקא לא חייב להיות טבעי (למרות שלפעמים מנסים שהוא יהיה אין בזה סיבה אמיתית, אולי אסתטית), n כמובן שכן.
יש סיבה טובה מאוד, אתה רוצה לכמת על קבוצה בת מניה ולא מעוצמת הרצף.
למה? לעניין הגדרת הגבול זה ממש לא משנה 
ההגדרות שקולות, אבל זה לא אומר שאין לזה חשיבות והסיבות הן 'אסתטיות', בהחלט יש לזה חשיבות.
לדוגמא במשפט אגורוף:
כשיש לך סדרה של פונקציות f_n ששואפת נקודתית לפונקציה f.
ותגדיר:
A_n={x| |f_n(x)-f(x)|<r} d
אזי על פי ההגדרה המקורית אתה יודע ש:
\cap N \cup n>N A_n
זה כל המרחב, לעומת זאת על פי ההגדרה שלך האיחוד היה צריך להיות על קבוצה מעוצמת הרצף.
עכשיו במקרה שיש מידה על המרחב, יש פה חשיבות רבה לכך שהאיחד הוא בן מניה (אחרת נניח במרחב מידה כמו במשפט אגורוף לא תוכל להשתמש בתכונות המידה).
