שאלה לגבי הוכחת משפט במטריצות (עדכון - הסעיף המתוקן )

[Lior A]

בוקר טוב לכולם ,

השאלה ( מדובר על סעיף ב ) , והתשובה שלי מצורפות .

אני רק רוצה לדעת אם התשובה נכונה . במקרה ולא - אני אסתפק ברמזים והכוונות ולא פתרון .(הרי אם אני לא אפתור לבד - תמשיכו לבד ..)

[incog]

ממש קשה לראות מה כתוב בתמונה.
לא הבנתי למה בשורה הראשונה הכפלת ב-B רק אגף אחד.


בכל אופן הפתרון הוא שלוש שורות


אתה צריך להכפיל מימין את שתי האגפים ב- (I+BA) ומשמאל ב- (I+AB)
ואז אתה נפתר מההופכי וכשתפתח את הסוגריים תקבל את אותו הדבר בשני האגפים (A+ABA)

[DetectiveTom]

*במעבר הראשון - כפלת ב-B אבל האיבר נעלם בשורה הבאה. אבל זה לא אמור לשנות, בעקרון, בשביל הגישה שלך.
*במשוואה האחרונה כתבת AB^-1 כאשר אני בטוח שהכוונה היא ל-
d   (AB)^-1
כדאי לסמן זאת בהתאם כדי לא להתבלבל עם
A(B^-1)  d


(d למטרות יישור בלבד, לא חלק מהביטוי)
*משהו מרגיש לי חשוד פה, נניח ויש שתי מטריצות ריבועיות מסדר 2 - A היא מטריצת היחידה, ו-B היא מטריצת היחידה בהחלפת עמודות. המכפלה שלהן היא B והיא הפיכה והכל טוב, ואז (לביטויים בסוגריים) אם מוסיפים I מקבלים מטריצה שכולה אחדות - וזו בלתי הפיכה.
לביטוי הנתון זה לא מפריע, כי אותו גורם נמצא בשני צידי המשוואה - אבל זה משתנה עם האלגברה שאתה עושה בהמשך ונעשה בעייתי.


נ.ב - האלגברה שלי מאוד חלודה.

[radagast]

יש פה משהו בעייתי, כי אפשר למצוא שתי מטריצות A ו-B כך שהביטוי הזה בכלל לא יהיה קיים (I+AB לא יהיה הפיך) למרות ש-AB הפיכה.

[DetectiveTom]

ראדה, ראה מה שכתבתי 
(אם שני צדי השוויון לא-קיימים זה בסדר. עוד אין לי מושג איך להתייחס לשלבי הביניים שאינקוג הציע, אבל אני פיזיקאי, אני מוכן לנפנף ידיים)

[radagast]

אינקוג יוצא ממה שצריך להוכיח, אתה מניח מראש כאן שהביטוי הזה קיים... שזו הנחה.

[DetectiveTom]

המוצא היחיד מהתסבוך שאתה מציין, זה אם השאלה היתה "הוכח או הפרך".
(או שיש טעות בשאלה)

[incog]

ברור שאם (I+BA) לא הפיכה או (I+AB) לא הפיכה אז הביטוי חסר משמעות.

אבל כפי שזה כתוב הן כן הפיכות.
אין כאן גם הוכח הפרך (אם היה הוכח הפרך זה היה בסגנון האם I+AB גם כן הפיכה).
ברגע שכותבים לך מטריצה בחזקת מינוס 1 , ההנחה היא שהיא הפיכה.

[Lior A]

רגע ..
כן יש להם טעות כאן .

אני אעלה את הנוסח המתוקן עוד כמה דקות .(ננסה לפתור)

[Lior A]

מצורף הסעיף המתוקן ופתרונו ( האם ההוכחה מספקת ?)

מצטער על הטעות ( שלא באשמתי ) ..

(הסעיף מסומן במרקר כחול )

[incog]

לא הפתרון שלך שלא לא נכון, כמו שאמרתי מקודם ברגע שאתה כותב:
(I+BA)^-1)  אתה כבר יוצא מתוך נקודת הנחה שזו מטריצה הפיכה וזה בדיוק מה שאתה צריך להוכיח.
לכן הנחת את מה שהיית צריך להוכיח מראש.

אתה קודם צריך להוכיח ש: I+BA הפיכה, ורק אז להוכיח את הנוסחא (שאת זה עושים באופן שאותו כתבתי בהודעה הראשונה).

אם אתה רוצה פתרון לגבי איך להוכיח ש- I+BA הפיכה:

תזכור שמכפלה של מטריצות הפיכות היא גם כן הפיכה, תסתכל על: A^-1(I+AB)A = I+BA
הצגת את המטריצה שלך כמכפלה של מטריצות הפיכות (על פי הנתון) ולכן היא גם כן הפיכה.

[Lior A]

לא קראת את ההודעה האחרונה עד הסוף .. ( נראה לי )

" הוכח שאם המטריצות A ,  (I+AB) V הפיכות --> אז המטריצה  (I+BA) V ,   הפיכה גם היא , ומתקיים :
   (I+AB)^-1A=A(I+BA)^-1   .

מדובר בסעיף שונה לגמרי , מצטער על הטעות ( אמנם שלא באשמתי , ועדיין ..)

נתון ש I+AB  הפיכה ..

עריכה :

הלוא אם I+BA ^-1   הפיכה הרי שגם I+BA הפיכה ? ( אני יכול לשלוף משפט ) שהרי :

A * A^-1 = I

[incog]

הבנתי את זה, אבל נתון לך ש- I+AB הפיכה, לא ש: I+BA הפיכה.
אתה קודם כל צריך להוכיח זאת.
עכשיו מה שעשית זה יצאת מתוך ביטוי שבו כבר מניחים ששתי המטריצות הפיכות, ואז אתה מניח את המבוקש.
רק אחרי שתוכיח את הטענה לביטוי הזה תהיה משמעות.

[Lior A]

 כן נכון ..

אבל האם X * Y = I  , לא מצביע על כך ששתיהן הופכיות משמע Y = X^-1 .  (?)

זה נכלל במשפטים שהוכחנו בעבר ( וע"פ כן - לא נדרש להוכיחם ונוכל "להשען" עליהם)

עריכה :

תודה על העזרה והסבלנות ..

[incog]

זה כמובן נכון אבל שים לב שזה לא מה שקיבלת, מה שקיבלת זה לא ביטוי מהצורה:
I=B*C , אלא ביטוי מהצורה:
I=D*B*C
ואתה רוצה להוכיח ש-B הפיכה.
אז זה עדיין נכון ש-B הפיכה אבל צריך לתרץ זאת...

בכל אופן אם אתה רוצה לבחור בדרך הזאת פשוט תשאיר רק את השורה האחרונה שכתבת (שבה באמת לא מופיע (I+AB)^-1)  ככה שזה בסדר).