תורת הקבוצות - שאלה על יחס שקילות ומחלקות שקילות

[גבריאל]

בתרגיל הבא, אני לא מצליח להבין אם אני צריך לבדוק אם יחס שקילות מתקיים בין כל המספרים הטבעיים, לפניס שאני מחלק לקבוצות (ואז כמובן שהתשובה היא לא, כי (1,2) וגם (2,3) שייכים לm אבל (1,3) לא, ולכן אין טרנזיטיביות, ואז התשובה היא כמובן A. או שזה בכלל לא מעניין אותי אם היחס מתקיים על פני כל הטבעיים, והמטרה שלי היא אך ורק למצוא חלוקה של קבוצות שמרכיבה את המספרים הטבעיים, ככה שבכל קבוצה כזו, זה יתקיים.
*כן, לא ממש הצלחתי להבין מה ההגדרה בכלל ומה הדרישות, לצערי גם החומר הכתוב והמופלא של האוניברסיטה הפתוחה לא עונה לי על השאלה.

תודה מראש

[incog]

בדיוק מהסיבות שכתבת זה אינו יחס שקילות.

[גבריאל]

והוא באמת חייב להיות יחס שקילות מעל כל הטבעיים חיוביים כדי להשרות חלוקה? (כי כן אפשר לעשות חלוקה לקבוצות ככה שבכל אחת מהקבוצות זה יתקיים וכולם ביחד ירכיבו את המספרים הטבעיים)

[incog]

חלוקה למה?
אם זה חלוקה למחלקות שקילות אז כן, זה חייב להיות יחס שקילות בשביל שתוכל להגדיר מחלקת שקילות.


זה תלוי על מה מגדירים את היחס, ברגע שהגדירו לך בצורה הזאת (כלומר על כל הטבעיים) זהו אינו יחס שקילות.
אם היו מגדירים אותו לדוגמא רק על הזוגיים אז הוא היה הופך ליחס הטריוויאלי (כלומר לשיוויון בין איברים) ואז הוא אכן יחס שקילות.
לכן חשוב לשים לב על איזו קבוצה מגדירים את היחס.

[גבריאל]

הבנתי, תודה!!

[גבריאל]

כשיש לי שאלה (בסגנון זו) על מספר מחלקות השקילות שL משרה. המטרה היא לחלק למספר המחלקות הקטן ביותר?

כי לדוגמא, אם יש לי קבוצה של כל השלמים, ויחס L  שזוג סדור שייך לו אם ורק אם, סכום הזוג הסדור הוא זוגי. כמובן שאפשר לחלק ל2 מחלקות שקילות, מחלקה של השלמים הזוגיים ומחלקה נוספת של השלמים האי זוגיים, אבל אני גם יכול לחלק את זה לאינסוף מחלקות שבכל מחלקה יש רק מספר שלם בודד, נראה לי 

[incog]

כשיש לי שאלה (בסגנון זו) על מספר מחלקות השקילות שL משרה. המטרה היא לחלק למספר המחלקות הקטן ביותר?

כי לדוגמא, אם יש לי קבוצה של כל השלמים, ויחס L  שזוג סדור שייך לו אם ורק אם, סכום הזוג הסדור הוא זוגי. כמובן שאפשר לחלק ל2 מחלקות שקילות, מחלקה של השלמים הזוגיים ומחלקה נוספת של השלמים האי זוגיים, אבל אני גם יכול לחלק את זה לאינסוף מחלקות שבכל מחלקה יש רק מספר שלם בודד, נראה לי 

מספר מחלקות השקילות הוא מספר קבוע אין לך דרך לשנות זאת.
לדוגמא ביחס שתארת אכן הזוגיים והאי זוגיים זו החלוקה הנכונה למחלקות שקילות (ולכן יש שתי מחלקות).
מספר שלם בודד הוא אינו מחלקת שקילות- כי נניח המספר x אזי הזוג (x,x+2) מקיים את היחס שציינת ו- x+2 לא נמצא בקבוצה שכוללת רק את האיבר x.

[גבריאל]

אז כשעושים חלוקה למחלקות שקילות, כל מחלקה צריכה לכלול את המקסימום איברים שמקיימים את התכונה (זאת אומרת, אני אמור לחלק את זה למינימום מחלקות קבוצות שקילות האפשרי)




?

[incog]

הכוונה שלך נכונה, אבל זה לא נכון לקרוא לזה מינימום כי זה פשוט לא נכון שתת קבוצה של מחלקת שקילות מקיימת את תכונת הסגירות.
אם E הוא יחס שקילות אז מחלקת השקילות של- X היא כל האיברים Y כך שמתקיים: xEy
בדוגמא שנתת עם הזוגיים X ו-Y, אז זה פשוט לא נכין להגיד שהקבוצה {1} מקיימת את תכונת הסגירות כי מתקיים:
1E3 אבל 3 לא שייך לקבוצה {1}.
ובעצם כל תת קבוצה שתיקח של מחלקת השקילות פשוט לא תקיים את התכונה

[גבריאל]

הבנתי, שוב תודה