שאלות עקרוניות קטנות (אלגברה א')

[Porcupine]

שלום, בדיוק התחלתי אלגברה א' ורציתי לשאול משהו קטן:
1. אם יש לי מינוס לפני איבר, איך להתייחס אליו? (כאל נגדי של איבר אחר/כאל (1-) כפול אותו האיבר וכו'. הרי בשדה יש רק פעולה + ולכן אני קצת מבולבל.)
למשל יש לי תרגיל להוכיח כי בשדה מתקיים ואני רוצה לדעת איך לגשת לזה (חשבתי על להוסיף נגדיים, למשל את (a+b) ).

2. בתרגיל אחר נדרשנו לפתור מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים מעל Z3. באופן כללי, מעל שדות שכאלה (Z משהו) צריך להיזהר ממשהו מסוים כשפותרים מערכת משוואות? (כלומר הבדלים בין פתירה כזאת לבין פתירה של מערכת משוואות המוכרת מהחטיבה.)

תודה רבה מראש =]

[Zodiack]

אני לא כל כך זוכר איך לגשת לסעיף א', אבל אמור להיות משהו על זה בהרצאות.
ובוידאו אמורים להביא דוגמאות די קרובות לשאלה שהעלת כאן.

בקשר לסעיף ב:
הדבר שצריך להזהר ממנו זה איברים גדולים מ3.
יש לפעמים טריקים עם זה (אני מניח שלזה התכוונת, שדות עם איברים מ0 עד Z-1).
וכעקרון כן- פותרים מערכת משוואות כאילו זה מעל שדה רגיל, רק אולי שווה לבדוק האם יש דרכים קלות יותר לפתור משוואות כאלו.

[ohad]

1 . לזכרוני צריך להתייחס אליו כעל הנגדי של האיבר, זו ההגדרה ומשם ממשיכים.
2. צריך להזהר לא לחלק ב"0" וכל מקביליו בשדה.

[Porcupine]

תודה.
זה אומר שלא ניתן, במסגרת דיוננו, להכפיל ב1 כך שיצא , נכון?
(לפחות אני מקווה שזה לא ניתן, אחרת זה לא מסתדר לי עם תכונות השדה. תקנו אותי אם אני טועה.)

[ohad]

להכפיל באחד או במינוס אחד? אנחנו מדברים על התרגיל הראשון?

[Porcupine]

להכפיל באחד או במינוס אחד? אנחנו מדברים על התרגיל הראשון?

כן, התכוונתי ללהגיע מ (a+b)- אל הנ"ל.
(כוונתי היא שאני לא רואה תכונה מתכונות השדה שמאפשרת לדחוף את ה-1 הזה בין המינוס לבין האיבר.)

[bubbles]

מהן תכונות השדה אותן למדת?
נסה לחשוב למה באמת זה נכון

[eyalil]

אל תנסה לדחוף 1, זה מיותר כאן. נסה לעשות משהו אחר.
שים לב שבעצם מה שאתה צריך להוכיח הוא שהאיבר הנגדי ל-

(a+b)

הוא

(-a) + (-b)

מספיק להשתמש כאן בקומוטטיביות ובאסוציאטיביות של החיבור.

[Porcupine]

לנסות משהו אחר זה בדיוק מה שניסיתי, סתם וידאתי ש"לדחוף 1" זה לא בסדר.

[eyalil]

אה. אז כאמור, הטענה

-(1\cdot(a+b)) = (-1)\cdot(a+b)

דורשת הוכחה, היא לא טריוויאלית.
(בתכל'ס היא נכונה - אתה יכול להוכיח את הטענה ואז להשתמש בה. אבל כאמור, זה יותר מסובך ממה שנדרשת לעשות כאן)

[נינה]

שים לב: שדה מוגדר עם שתי פעולות. בשדות שתלמד יקראו להן "חיבור" ו"כפל".
הסימן מינוס, זה חיבור של האיבר הנגדי.
1 - או בשמו המפורש איבר היחידה, מוגדר בתור האיבר האדיש לכפל, ולכן אתה רשאי להכפיל ב-1 כל דבר שתרצה.
האינטואיציה שלך דווקא היתה נכונה: תכפיל באיבר היחידה, כמו שתכננת, ואז תשתמש באקסיומת הדיסטירבוטטיביות (פילוג) ע"מ "לפתוח סוגריים".
מכאן נותר לך לעבוד עם הגדרת איבר היחידה, ועם הגדרת הנגדי, וסיימת.

אם לא למדת שבשדה יש שתי פעולות, כלומר למדתם רק 5 אקסיומות על השדה, ולא 11, יש לך שתי אפשרויות:
1. חכה להרצאה הבאה*
2.

אלגברה א - הרצאה 02

*אני כמעט בטוחה שעוברים על זה תמיד בהרצאה הראשונה, גג שניה. כך שאם לדעתך לא עברתם על זה - תוודא גם עם כמה חברים.

[incog]

לא, זה לא כל כך פשוט כמו שכתבת.
ראשית כל לא יכול להיות שהם למדו רק 5 אקסיומות על השדה (אחרת השדה לא היה מוגדר היטב).

שנית לגבי מה שכתבת:
זה נכון שאפשר להכפיל ב -1 ואז בדיסטריבוטיביות אבל אז תקבלי ש:

-1*(a+b)=-1*a+-1*b

את עדיין צריכה להסביר למה:

-1*a=-a

(כאן צריך להשתמש בהגדרת הנגדי ודיסטרוביטיביות, זה לא קשה אבל זה דורש הוכחה ולדעתי הדרך שהראו לו היא הדרך היותר פשוטה ואלגנטית.)