פורום קהילת הסטודנטים בטכניון

טכניוני => עזרה בפיתרון תרגילים => נושא נשלח על ידי: guyl44 על דצמבר 10, 2012, 22:30:20 PM

כותרת: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: guyl44 על דצמבר 10, 2012, 22:30:20 PM

נתקלתי בבעיה בגיליון שאלות בכתב באלגברה-

הוכח או הפרך:
תהיינה A ו-B מטריצות ממשיות שונות מאפס המקיימות AB=0. תהי C שקולת שורות ל-A, אזי קיימת מטריצה D שונה מאפס כך ש-CD=0.


אני רואה שזה מתקיים, אבל הבעיה שלי היא להוכיח. חשבתי על משהו כזה- יודעים שמתקיים:

R_{A_1}\cdot C_{B_1}=0

ידוע שכל שורה ב-C היא ק"ל של שורות ב-A, או בעצם:

R_{C_i}=\alpha_1\cdot R_{A_1}+...+\alpha_m\cdot R_{A_m}

אבל זה לא כ"כ עוזר, כי תכלס, כפל ה"שורה בעמודה" שתכתבי מעל הוא לא מדויק- זה לא שכופלים את כל השורה שב-A בכל העמודה שב-B, זה איבר-איבר בהתאמה. הכתיבה של זה יוצאת יותר מדי מסורבלת (הרבה יותר ממה שכתבתי עד עכשיו...), וחשבתי שאולי יש דרך יותר אלגנטית לנסח הוכחה.

כותרת: בעניין: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: Boris על דצמבר 10, 2012, 22:36:47 PM

תבדוק אותי כי עבר קצת זמן
אם C שקולת שורות ל A אז:

( \prod e_{i} )A=C

כאשר כל ה

e_{i}

הן מטריצות אלמנטריות.
תכפול מימין ב B תקבל ומפה זה כבר הסוף...

כותרת: בעניין: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: guyl44 על דצמבר 10, 2012, 23:13:53 PM

רגע, אני לא בטוח שהבנתי- ההגדרה היחידה של "שקולת שורות" שלמדתי בקורס היא מטריצה שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות.
את הפעולות האלה אפשר להגדיר כמטריצות אלמנטריות? מצטער על הבורות, פשוט זה באמת נראה כאילו דילגנו על זה משום מה.

אם כך, זה באמת פשוט ואפילו לא דורש כ"כ שימוש בק"ל, רק כפל מטריצות...  :think:

כותרת: בעניין: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: Boris על דצמבר 10, 2012, 23:28:16 PM

כל הרעיון של מטריצות אלמנטריות הוא שאם כופלים מטריצה אלמנטרית במטריצה רגילה אז מקבלים את הרגילה לאחר הפעלת הפעולה האלמנטרית.
כופלים משמאל כי משמאל המטריצות האלמנטריות פועלות על השורות ומימין על העמודות.
http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix)
זה משהו שאנחנו עברנו עליו באלגברה 1מ', אולי דילגו על זה אצלכם (או שזה יהיה בעתיד)
הנה צילג מסביר: https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=2UQKIDW8uik#t=1888s (https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=2UQKIDW8uik#t=1888s)

כותרת: בעניין: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: guyl44 על דצמבר 11, 2012, 10:11:26 AM

מעולה, זה פותר לי את הבעיה. לא יודע איך דילגו על זה (עליזה!).

תודה רבה!

כותרת: בעניין: שאלה באלגברה 1מ' - צירופים ליניאריים
תגובה על ידי: littlerunaway על דצמבר 14, 2012, 02:05:50 AM

גם אצל נעמי דילגנו על זה מסתבר, למרות שהיא הזכירה מטריצות אלמנטריות בתור אחד הנושאים הבאים אז זה בטח הולך לבוא בהמשך.
השאלה אם אני יכולה להשתמש בזה אם עוד לא למדנו את הנושא (נתקעתי בדיוק על אותה שאלה).