בקשו להוכיח שוויון עוצמות בין הקבוצות:
\mathcal{P}(\mathbb{N})\sim\mathbb{N}\times\mathcal{P}(\mathbb{N})\sim\mathcal{P}(\mathbb{N})^{\mathbb{N}}
קל להוכיח (בניית פונקציות חח"ע די פשוטות) כי:
\mathcal{P}(\mathbb{N})\preceq\mathbb{N}\times\mathcal{P}(\mathbb{N})\preceq\mathcal{P}(\mathbb{N})^{\mathbb{N}}
איך אני מוכיח את השוויון בין הראשונה לאחרונה? (שיגרור בסנדוויץ' את האמצעית)
יש כאן איזה פונקצייה חח"ע שאני מפספס או שצריך ללכת על משהו אחר?
בנוסף (ואולי איכשהו זה קשור):
נתקלתי בהתייחסות ל \{0,1\}^\mathbb{N}
כקבוצת הווקטורים הבינאריים האינסופיים, למה? זה לא סימון לקבוצת כל הפונקציות מ {0,1} ל N?
תודה!
(אגב, מישהו יודע למה בתצוגה מקדימה ה latex לא מוצג כמו שצריך?)
הפוך, הסימון הוא של כל הפונקציות מ-N ל- {0,1} (אפשר לראות פונקציה כזו כווקטור בינארי אינסופי, לכן זה באמת שקול).
לגבי שאלתך, מאוד קל לראות את זה על ידי חשבון עוצמות מתקיים:
$|P(\mathbb{N})^{\mathbb{N}}|=(2^{\aleph_{0}})^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}\times\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}}=|P(\mathbb{N})|$